教材内容
求和记号（Sigma Notation）是数学中表示级数求和的重要工具。希腊大写字母Σ（sigma）用来表示求和，通过求和记号可以简洁地表示复杂的级数求和问题。通过本节的学习，我们将掌握求和记号的基本概念、符号表示和计算方法。
求和记号：使用希腊大写字母 \(\sum\) 来表示求和，在上下标中指定求和的起始和结束位置。
一般形式：\(\sum_{r=1}^{n} f(r)\) 表示从 \(r=1\) 到 \(r=n\) 的所有 \(f(r)\) 的和。
求和记号的结构：
\[\sum_{r=1}^{n} f(r)\]
其中：
• \(\sum\) 是求和符号
• \(r\) 是求和变量（下标）
• \(1\) 是起始值（下界）
• \(n\) 是结束值（上界）
• \(f(r)\) 是被求和的表达式
题目：计算 \(\sum_{r=3}^{7} (5 \times 2^r)\)
解答：
将 \(r = 3, 4, 5, 6, 7\) 分别代入表达式：
\(\sum_{r=3}^{7} (5 \times 2^r) = 5 \times 2^3 + 5 \times 2^4 + 5 \times 2^5 + 5 \times 2^6 + 5 \times 2^7\)
\(= 5 \times 8 + 5 \times 16 + 5 \times 32 + 5 \times 64 + 5 \times 128\)
\(= 40 + 80 + 160 + 320 + 640\)
\(= 1240\)
常用求和记号：
\(\sum_{r=1}^{n} 1 = n\)
\(\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}\)
这些是求和记号的基本性质，在计算中经常用到
题目：计算 \(\sum_{r=1}^{20} (4r + 1)\)
解答：
这是一个等差数列的求和：
\(\sum_{r=1}^{20} (4r + 1) = 5 + 9 + 13 + ... + 81\)
首项 \(a = 5\)，公差 \(d = 4\)，项数 \(n = 20\)
使用等差数列求和公式：
\(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)
\(S = \frac{20}{2}(2 \times 5 + (20-1) \times 4)\)
\(S = 10(10 + 19 \times 4) = 10(10 + 76) = 10 \times 86 = 860\)
题目：计算 \(\sum_{k=1}^{12} 5 \times 3^{k-1}\)
解答：
这是一个等比数列的求和：
\(\sum_{k=1}^{12} 5 \times 3^{k-1} = 5 + 15 + 45 + ...\)
首项 \(a = 5\)，公比 \(r = 3\)，项数 \(n = 12\)
使用等比数列求和公式：
\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_{12} = \frac{5(3^{12} - 1)}{3 - 1} = \frac{5(531441 - 1)}{2} = \frac{5 \times 531440}{2} = 1328600\)
题目：计算 \(\sum_{k=5}^{12} 5 \times 3^{k-1}\)
解答：
这个求和可以从第5项开始，我们可以用以下方法计算：
\(\sum_{k=5}^{12} 5 \times 3^{k-1} = \sum_{k=1}^{12} 5 \times 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{4} 5 \times 3^{k-1}\)
从示例3已知：\(\sum_{k=1}^{12} 5 \times 3^{k-1} = 1328600\)
计算前4项的和：
\(\sum_{k=1}^{4} 5 \times 3^{k-1} = \frac{5(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{5(81 - 1)}{2} = \frac{5 \times 80}{2} = 200\)
所以：\(\sum_{k=5}^{12} 5 \times 3^{k-1} = 1328600 - 200 = 1328400\)
在使用求和记号时，要特别注意求和变量的取值范围。求和记号不仅可以表示从1开始的求和，也可以表示从任意数开始的求和。
通过本节的学习，你应该能够：